第五节 离中趋势差异量：描述数据离散趋势或离散程度的指标。

第二章 推断统计基本

第一节 概率基础及分布

概率基础

集合：若干个具有明确含义的事物组成的全体。常用大写字母表示；元素，指组成集合的每一个事物。常用小写字母表示

全集Ω：包括全部元素的集合称为；单元集：仅由一个元素组成的集合称为；空集Φ：不包括任何元素的集合 。

子集  集合中任意一个元素同时又是另一集合中的元素时．该集合称其为子集。

并集  由或者属于集合A，或者属于集合B的全部元素构成的集合。

交集  同时仅于集合A和集合B的全部元素构成的集合。

补集  当集合为全集仍的一个子集时，中不属于A的所有元素的集合。

排列:从n个不同的元素中任意取出r个不同的元素(0<r≤n)，按顺序排成一个不同的元素中每次取r个不同的元素的一种排列。 n!为n 阶乘

有重复排列  参加元素可以重复抽取的排列。n.n.n….n=n’

组合:从n个不同的元素小任意取出r个不同元素，不考虑顺序构成,n个不同的元素中每次取r个不同的元素的一种组合。

概率: 随机事件出现的可能性的大小。

后验概率 在大量试验中随机事件A出现次数的稳定比率。

古典概型 满足两个条件：结果有限；各个结果出现的可能性被认为是相等的模型

先验概率 在古典概型中，随机事件A的概率为该事件所包含可能结果个数m与所有可能结果的总数n的比值。

基本事件  不能再细分的随机事件。基本空间：所有基本事件所构成的集合。

数学家贝努里：列出一个试验的全部有限个结果，如没理由认为任何一个结果发生可能性大于其他结果则假定所有结果发生的可能性相等

概率公理化定义。设实值函数P(a)的定义域为所考虑的全体随机事件组成的集合，满足三个公理．则称此实值函数P(a)为随机事件A的概率。

    1933苏联数学家柯尔美哥洛夫慨率的公理化体系：先给出一组关于随机事件概率的公理，然后给出概率的定义。

公理1 对任一随机事件A有：0≤P(A) ≤1；公理2 P(Ω)=1P(Φ)=0；

公理3对两两互斥的有限多个随机事件A1A2A3 …An：P(A1+A2+…+An)=P(A1)+P(A2)+…+P(An)

概率运算：事件的包含；事件的相等；事件的和(并)；事件的积(交)；事件为对立：两者必有一个发生且仅有一个发生；互斥事件：相交为空集

概率性质：性质1、2、3 为其三个公理;性质4加法定理:P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B);性质5乘法定理：P(A1.A2.….An)=P(A1)P(A2).….P(An)

前提：独立事件:若一个事件是否发生不会影响另—事件，它们就是相互独立的。

条件概率：若A、B是一定条件组下的两个随机事件．且P(B)≠0，则称在B发生的前提下A发生的概率．作P(A1B)，读为给定B时A条件概率

（P(B)>0）

全概率公式：若事件组A1，A2，…，An为一完备事件组(即两两互斥且组成基本空间Ω)，对于任意事件B都有

贝叶斯公式/逆概公式：已知该事件B已经发生，各种原因发生的概率有多大，

若事件组A1，A2，…，An为一完备事件组(即两两互斥且组成基本空间Ω)，对于任意事件B（P(B)>0）都有

对不起公式都显示不出来

概率分布：对于一定条件组下随机试验的每一个可能结果A都唯一对应于一个实数值X(A)，则称实值变量X(A)为一个随机变量，简记为X

间断型随机变量的概率分布：二项分布、泊松分布和超几何分布

二项试验(或称贝努里试验)：

(1)一次试验只有两种可能结果，即“成功”和“失败”(引号表示这不是真正意义上的成功或失败，只是说明两种结果或状态而已)：

(2)试验可以在同样的条件下重复进行；

(3)试验的结果可以用计数来表示“成功”或“失败“的次数；

(4)各次试验中“成功”的概率P相同，“失败”的概率q也相同；

(5)各次试验的结果互不影响，相互独立。

二项分布：把重复进行n次二项试验后不同“成功”次数的概率分布。

二项分布图(1)当p=q＝0．5时，二项分布左右对称；

          (2)P值偏离0．5越远，图形偏斜程度越大；

          (3)n越小．图形越陡峭；n越大越平缓；当n趋近于无穷大时，二项分布趋近于正态分布；

          (4)当n与P确定后，随着X的增加，二项分布的概率值先升后降，在X=np处达到最大值

泊松分布：n比较大下1837法国泊松作为二项分布的近似形式提出来的。若随机变量X的概率分布 则称随机变量X从参数为λ泊松分布。一种随机现象可在—个空间或时间过程中重复地出现。x表—随机事件在某一空间或时间范围内发生的次数。e=2．7183。λ为随机事件在单位空间或时间间隔内平均发生的次数。

随λ增大，泊松分布接近正态分布，在n次二项试验中，当“成功”的概率p很小n很大np→λ，二项分布以泊松分布为极限分布形式，经验上．当p≤0.25,n>20,np≤5时，用泊松分布近似计算效果比较理想。

超几何分布：若总体中的个体单价数心比较小，抽取个体单位时又采取不放问的形式，设总体的N个个体中，有M个个体具备件质A，其余(N—M)个体不具备该性质。现从该总体中不放回地抽取n个个体，则这n个个体中具备性质A 的个体数X是一服从超几何分布的随机变量 x=0,1,2,…l;l=min(M,n),

连续型随机变量的概率分市

概率密度函数：若函数f(x)的曲线与x轴围成的面积等于1，则称为连续型随机变量x的概率密度函数(简称概率密度、密度函数或密度)；而

x取值(a,b)区间的概率就是由区间上的曲线与横轴围成的面积。

正态分布：1733德莫弗，19世纪初高斯和拉普拉斯分别重新提出了正态分布。

正态分布概率密度函数为 则 服从正态分布

函数曲线相对于直线X=μ对称且达最大值；在X=μ±σ处有拐点；当X趋于无穷时曲线以X轴为渐近线，陡峭度取决于方差的大小。

标准正态分布：μ=0，σ=1 则 。若 或 有：             

特点：最高Z＝0且为中心左右对称；其向两边缓慢下降以横轴为渐近线；均值0标准差1；拐点Z=±1；(-3,+3)区间概率几乎达1

指数分布：若随机变量T的概率密度函数为 则称T服从参数λ的指数分布。

研究随机事件A两次出现间的间隔。两个分布中的A表示随机事件λ在单位时间内出现的平均次数或发生率。

对不起公式都显示不出来

概率分布：对于一定条件组下随机试验的每一个可能结果A都唯一对应于一个实数值X(A)，则称实值变量X(A)为一个随机变量，简记为X

间断型随机变量的概率分布：二项分布、泊松分布和超几何分布

二项试验(或称贝努里试验)：

(1)一次试验只有两种可能结果，即“成功”和“失败”(引号表示这不是真正意义上的成功或失败，只是说明两种结果或状态而已)：

(2)试验可以在同样的条件下重复进行；

(3)试验的结果可以用计数来表示“成功”或“失败“的次数；

(4)各次试验中“成功”的概率P相同，“失败”的概率q也相同；

(5)各次试验的结果互不影响，相互独立。

二项分布：把重复进行n次二项试验后不同“成功”次数的概率分布。

二项分布图(1)当p=q＝0．5时，二项分布左右对称；

(2)P值偏离0．5越远，图形偏斜程度越大；

(3)n越小．图形越陡峭；n越大越平缓；当n趋近于无穷大时，二项分布趋近于正态分布；

(4)当n与P确定后，随着X的增加，二项分布的概率值先升后降，在X=np处达到最大值

泊松分布：n比较大下1837法国泊松作为二项分布的近似形式提出来的。若随机变量X的概率分布 则称随机变量X从参数为λ泊松分布。一种随机现象可在—个空间或时间过程中重复地出现。x表—随机事件在某一空间或时间范围内发生的次数。e=2．7183。λ为随机事件在单位空间或时间间隔内平均发生的次数。

随λ增大，泊松分布接近正态分布，在n次二项试验中，当“成功”的概率p很小n很大np→λ，二项分布以泊松分布为极限分布形式，经验上．当p≤0.25,n>20,np≤5时，用泊松分布近似计算效果比较理想。

超几何分布：若总体中的个体单价数心比较小，抽取个体单位时又采取不放问的形式，设总体的N个个体中，有M个个体具备件质A，其余(N—M)个体不具备该性质。现从该总体中不放回地抽取n个个体，则这n个个体中具备性质A 的个体数X是一服从超几何分布的随机变量 x=0,1,2,…l;l=min(M,n),

连续型随机变量的概率分市

概率密度函数：若函数f(x)的曲线与x轴围成的面积等于1，则称为连续型随机变量x的概率密度函数(简称概率密度、密度函数或密度)；而

x取值(a,b)区间的概率就是由区间上的曲线与横轴围成的面积。

正态分布：1733德莫弗，19世纪初高斯和拉普拉斯分别重新提出了正态分布。

正态分布概率密度函数为 则 服从正态分布

函数曲线相对于直线X=μ对称且达最大值；在X=μ±σ处有拐点；当X趋于无穷时曲线以X轴为渐近线，陡峭度取决于方差的大小。

标准正态分布：μ=0，σ=1 则 。若 或 有：

特点：最高Z＝0且为中心左右对称；其向两边缓慢下降以横轴为渐近线；均值0标准差1；拐点Z=±1；(-3,+3)区间概率几乎达1

指数分布：若随机变量T的概率密度函数为 则称T服从参数λ的指数分布。

研究随机事件A两次出现间的间隔。两个分布中的A表示随机事件λ在单位时间内出现的平均次数或发生率。