楼主
双因素方差分析前面所研究的是试验结果仅受一个因素影响的情形。要求检验的是当因素取不同水平时对结果所产生的影响是否显著。但在实践中，某种试验结果往往受到两个或两个以上因素的影响。例如，产品的合格率可能与所用的设备以及操作人员有关，企业的利润可能与市场的潜力、产品的式样和所投入的广告费用有关等等有关。如果我们研究的是两个因素的不同水平对试验结果的影响是否显著的问题就称作双因素方差分析。双因素方差分析中两个因素的影响既可能是相互联系、相互影响的，也可能是相互独立的。因此，在分析的方法和步骤上要比单因素时来得复杂一些。 双因素方差分析的基本思想与单因素方差分析基本相同。首先分别计算出总变差、各个因素的变差以及随机误差的变差。其次根据各变差相应的自由度求出均方差，最后计算出F值并作F检验。 双因素方差分析根据两个因素相互之间是否有交互影响而分为无交互影响的和有交互影响的两种情形。我们首先研究两因素无交互影响时的情形。 一、无交互影响的双因素方差分析如果某一试验结果受到A和B两个因素的影响。这两个因素分别可取K和M个水平，则双因素方差分析实际上就是要比较因素A的K个水平的均值之间是否存在显著差异，因素B的M个水平的均值之间是否存在显著差异。目的是要检验试验中这两个因素所起的作用有多大，是仅仅一个因素在起作用，还是两个因素起作用或者是两个因素的作用都不显著。 在假定两个因素无交互影响的情形，通常采用不重复试验，即对于两个因素每一种水平的组合只进行一次试验，这样总共就进行K*M次试验。假定试验的结果如表5-3所示。 表5-3：双因素分析的试验结果观察值 因素B的水平 1 2 3 …… m 行总和 因素 1 A的 2 水平 k 列总和 其中： 双因素的方差分析问题实际上也是一个假设检验问题。对于无交互影响的双因素方差分析其方法和步骤如下： 1、形成假设 由于两因素相互独立，因此可以分别对每一个因素进行检验。 对于因素A： 对于因素B： 2、进行离差平方和的分解 = 上式展开式中三个二倍乘积项均为零。我们令 于是就有: SST=SSA+SSB+SSE SST的自由度为(N-1)，SSA和SSB的自由度分别为(K-1)和(M-1)，而SSE的自由度为(N-1)-(K-1)-(M-1)=N-K-M-1=(K-1)(M-1) 3、编制方差分析表，进行F检验 从方差分解式所得到的SSA、SSB和SSE除以各自的自由度，就得到各自相应的均方差，然后与单因素方差分析时一样，我们可以得到无交互影响时双因素方差分析表如下: 双因素无交互影响时的方差分析表 方差来源 离差平方和 自由度 均方差 统计检验量F 因素A SSA K-1 因素B SSB M-1 误差E SSE (K-1)(M-1) 总方差 SST N-1
根据方差分析表计算得到 二、有交互作用的两因素方差分析前面假定因素A与因素B之间相互独立，不存在相互影响，但有时两个因素会产生交互作用，从而使因素A的某些水平与因素B的另一些水平相结合时对结果产生更大的影响。 对于有交互作用的两因素之间方差分析的步骤几乎与前一种情形一样，不同的是当两因素之间存在交互作用时情形，先要剔除交互作用的影响，因此比较复杂。同时在有交互作用的影响时对于每一种试验条件要进行多次重复试验以便将因素间交互作用的平方和从误差平方和中分离出来。由于重复试验数据量就大大增加了。 有交互作用的两因素方差分析的方法和步骤同前面一样，关键是对总离差平方和进行分解时必须考虑两因素的交互作用。 设因素A有 为在因素A的第I个水平，因素B的第j个水平下进行各次重复试验的所有观察值的总和。记 为在因素A的第I个水平，因素B的第j个水平下进行各次重复试验的所有观察值的平均值。记 其中： 利用上面所引入的符号，我们可以得到有交互作用的两因素方差分析的步骤如下： 1、形成假设 由于两因素有交互影响，因此除了分别检验两因素单独对试验结果的影响外，还必须检验两因素交互影响的作用是否显著。 对于因素A： 对于因素B： 对于因素AB的交互作用： 2、进行离差平方和的分解 有交互作用的两因素方差分析的这时总离差平方和可以分解为四项： 总离差平方和 分别记 为因素A的离差平方和，自由度为 为因素B的离差平方和，自由度为 表示随机误差的离差平方和，自由度为 表示因素间交互作用的离差平方和，自由度为 |
|
