具体内容

一、描述统计

描述统计是指用来整理、概括、简化数据的统计方法，侧重于描述一组数据的全貌，表达一件事物的性质。

（二）集中量数

集中量数又叫集中趋势，是体现一组数据一般水平的统计量。它能反映频数分布中大量数据向某一点集中的情况。

1．算数平均数

（1）定义

算数平均数：即所有观察值的总和与总频数之商，简称为平均数或均数

（2）特点

①在一组数据中每个变量与平均数之差的总和等于零

②在一组数据中，每一个数都加上一个常数C，所得的平均数为原来的平均数加常数C

③在一组数据中，每一个数都乘以一个常数C，所得的平均数为原来的平均数乘以常数C

（3）意义

算数平均数是应用最普遍的一种集中量数，它在大多情况下是真值最好的估计值。

（4）优缺点

优点：反应灵敏、计算严密、计算简单、简明易解、适合于进一步用代数方法盐酸、较少受抽样变动的影响

缺点：易受极端数据的影响、不能在出现模糊数据时计算

2．中数

（1）定义

中数：按顺序排列在一起的一组数据中居于中间位置的数，在这组数据中，有一半数据比它大，一般数据比它小

      等价于百分位数是50的那个数。

（2）算法

①数列总个数为奇数时，第 (n+1)/2 个数就是中数

②数列总个数为偶数时，可取位于中间的两个数的平均数作为中数

③分布中有相等的数时，将重复的数字看成一个连续体，利用中间分数的精确上下限使用插值法

（3）优缺点

优点：计算简单、容易理解、不受极端值影响、能在有模糊数据情况下使用、可在顺序型数据时使用

缺点：代表性低、不够灵敏、稳定性低、需要排序、不能进一步做代数运算

3．众数

（1）定义

众数：在次数分布中出现次数最多的那个数的数值

      众数可能不只一个。在正偏态分布时，平均数最靠近尾端，中数位于其与众数之间。

（2）优缺点

优点：能在数据不同质的情况使用，能避免极端值干扰缺点：不稳定、代表性差、不够灵敏、不能做进一步的代数运算

（三）差异量数

差异量数就是对一组数据的变异性，即离中趋势特点进行度量和描述的统计量，也称为离散量数。

1．离差与平均差

离差：分布中的某点到均值得距离，其符号表示了某分属于均值之间的位置关系而数值表示了它们之间的绝对距离

      离差之和始终为零。

平均差：次数分布中所有原始数据与平均数绝对离差的平均值

2．方差与标准差

（1）总体的方差和标准差

方差：每个数据与该组数据平均数之差乘方后的均值，即离均差平房后的均数

标准差：方差的平方根

（2）样本的方差和标准差

（3）性质

①每一个观测值都加一个相同的常数C之后，计算得到的标准差等于原来的标准差

②每一个观测值都乘以一个相同的常数C，所得到的标准差等于原标准差乘以这个常数

（4）意义

方差与标准差是表示一组数据离散程度的最好指标，它们是统计描述与统计推断分析中最常用的差异量数，它们的优点有：

反应灵敏、计算严谨、计算容易、适合代数运算、受抽样变动影响小、意义简单明了

3．变异系数

当遇到下列情况时，不能用绝对差异量来比较不同样本的离散程度，而应当使用相对差异量数，最常用的就是差异系数。

①两个或两个以上样本所使用的观测工具不同，所测的特质相同

②两个或两个以上样本使用的是同种观测工具，所测的特质相同，但样本间水平差异较大

差异系数：一种最常用的相对差异量，为标准差对平均数的百分比

（四）相对量数

1．百分位数

百分位数：在整个分布中，在某一值之下或等于该值的分数的百分比，所对应的分数

百分位数和百分等级是同一操作定义的两端。当我们求累计次数占总体的百分比是，所对应的分数和百分比的值分别为百分位数和百分等级。

2．百分等级

百分等级：常模团体中低于该分数的人所占总体的百分比

百分等级一定要对应分数区间的精确上限。百分等级和百分位数都可以由已知数据用差值法求解。

3．标准分数

（1）定义

标准分数：以标准差为单位表示一个原始分数在团体中所处位置的相对位置量数，也叫Z分数

离平均数有多远，即表示原始分数在平均数以上或以下几个标准差的位置。

（2）性质

①Z分数无实际单位，是以平均数为参照点，以标准差为单位的一个相对量

②一组原始分数转换得到的Z分数可正可负，所有原始分数的Z分数之和为零

③原始数据的Z分数的标准差为1

④若原始分数呈正态分布，则转换得到的所有Z分数均值为0，标准差为1的标准正态分布

（3）优点

①可比性——不同性质的成绩，一经转换为标准分数，就可在同一背景下比较

②可加性——不同性质的原始数据具有相同的参照点，因此可相加

③明确性——知道了标准分数，利用分布寒暑表就能知道其百分等级

④稳定性——转换成标准分数之后，规定了标准差为1，保证了不同性质分数在总分数中权重一样

（4）应用

①比较几个分属性质不同的观测值在各自数据分布中相对位置的高低

②计算不同质的观测值得总合或平均值，以表示在团体中的相对位置

③若标准分数中有小数、负数等不易被人接受的问题，可通过 Z'=aZ+b 的线性公式将其转化成新的分数（如韦氏成人智力量表）

（五）相关量数

相关系数：两列变量间相关程度的数字表现形式

作为样本的统计量用r表示，作为总体参数一般用ρ表示。

正相关：两列变量变动方向相同

负相关：两列变量中有一列变量变动时，另一列变量呈现出与前一列变量方向相反的变动

零相关：两列变量之间没有关系，各自按照自己的规律或无规律变化

1．积差相关

也就是Pearson相关。

（1）前提

①数据要成对出现，即若干个体中每个个体都有两种不同的观测值，并且每队数据与其它对子相互独立

②两列变量各自总体的分布都是正态的，至少接近正态

③两个相关的变量是连续变量，也即两列数据都是测量数据

④两列变量之间的关系应是直线性的

（2）公式

2．等级相关

也就是Spearman相关

（1）适用范围

①当研究考察的变量为顺序型数据时，若原始数据为等比货等距，则先转化为顺序型数据

②当研究考察的变量为非线性数据时

（2）公式

将原始数据转化为顺序型数据，仍然用Pearson相关公式计算即可。

3．肯德尔等级相关

（1）肯德尔W系数

也叫肯德尔和谐系数，原始数据资料的获得一般采用等级评定法，即让K个被试对N件实物进行等级评定。其原理是评价者评价的一致性除以最大变异可能性。

（2）肯德尔U系数#

其与肯德尔W系数所处理的问题相同，但评价者采用对偶比较法，即将N件事物两两配对分别进行比较

4．点二列相关与二列相关

（1）点二列相关

适用于一列数据为等距正态变量，另一列为离散型二分变量。

是与二分称名变量的一个值对应的连续变量的平均数

是与二分称名变量的另一个值对应的连续变量的平均数

p与q是二分称名变量两个值各自所占的比率

s_t是连续变量的标准差

（2）二列相关

适用于两列变量都是正态等距变量，但其中一列变量被人为地分成两类。

y为标准正态曲线中p值对应的高度，查正态分布表能得到